Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.
Например, позиционная двоичная система счисления имеет алфавит {0,1} и размерность 2. Троичная - алфавит {0,1,2} и размерность 3... и тд.
Выполните следующие задания!
ЗАДАНИЯ ЧИТАЕМ ВНИМАТЕЛЬНО
(минимальная система счисления, в которой может быть 4 это пятиричная система счисления с алфавитом {0,1,2,3,4}, так как системы, обладающие меньшим основанием, не могут включать в свои алфавиты цифру 4.)
Домашнее задание: изучить
( тык на кнопку=) )
Дополнительная информация: https://youtu.be/AkXHkwVCcRU
Актуализация опорных знаний
- Какие системы счисления активно используются людьми на данный момент?
- Является ли римская система счисления позиционной? Почему?
- Является ли десятичная система счисления позиционной? Почему?
- Чем отличается принцип записи многозначных чисел в римской и арабской системах счисления?
Какие из данных высказываний являются ИСТИННЫМИ?
Почему?
- Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
- Информация, хранящаяся в компьютере, представлена в троичной системе счисления.
- В двоичной системе счисления 11 + 1 = 12.
- Существует множество позиционных систем счисления, и они отличаются друг от друга алфавитами.
- В 16-ричной системе счисления символ F используется для обозначения числа 15. (А = 10)
- Римская система счисления – это позиционная система счисления.
- Каждая система счисления имеет свой алфавит и основание.
Десятичная система счисления
Получив название арабской эта система счисления, в XII веке распространилась по всей Европе.Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой.
Её основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит.
Рассмотрим десятичное число: 555
Данное число записано в свёрнутой форме
В зависимости от позиции цифра 5 обозначает единицы, десятки, сотни.
В развернутой форме записи числа умножение цифр производится в явной форме:
55510 = 5*102 + 5*101 + 5*100
(10 - основание)
Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания:
555,5510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 + 5·10-1 + 5·10-2
Номер разряда стоящей в нем цифры равен значению степени основания
Давайте обсудим!
- В какой системе счисления удобнее считать?
- Почему арабская система называется десятичной?
Двоичная система счисления
Информация в компьютере представлена в двоичном коде. Используется двоичная система счисления.
Двоичная система счисления является позиционной системой счисления.
Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2.
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.
Число в свернутой форме записывается так:
101,012
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве цифр 0 или1.
101,012 = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2
Каким образом связаны номер разряда и степень основания?
Восьмеричная система счисления
Широко используется в информатике.
Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8.Число в свернутой форме записывается так:
137,28
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 8 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до 7.
137,28 = 1·82 + 3·81 + 7·80 + 2·8-1
Шестнадцатеричная система счисления
Широко используется в информатике.
Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16.(Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
Число в свернутой форме записывается так:
12A,416
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 16 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до F, выражая шестнадцатеричные цифры через их десятичное значение (A=10, F=15).
12A,416 = 1·162 + 2·161 + 10·160 + 4·16-1
Алгоритм перевода чисел,
записанных в произвольной системе счисления,
в десятичную систему счисления
1. Записать число в развернутой форме в виде сумм ряда степеней основания системы счисления с коэффициентами в качестве цифр данной системы счисления.
2. Вычислить полученную сумму
231,24 = 2·42 + 3·41 + 1·40 + 2·4-1 = 45,510
------------------------------------------------------
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
------------------------------------------------------
-1-
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:
а) 341
б) 123
в) 222
г) 111
д) ААА
е) А10
ж) 98
------------------------------------------------------
-2-
Какое число ошибочно записано в:
а) троичной СС – 79, 212, 531
б) девятеричной СС – 419, 832, 4А
------------------------------------------------------
-3-
Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами?Переведите полученное число в десятичную систему счисления.
------------------------------------------------------
-4-
Определите четное число или нечетное:
а) 1012
б) 1102
в) 10012
г) 1002
Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления.
------------------------------------------------------
-5-
Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок.Возможно ли это? Обоснуйте ответ.
Конспектируем. Задания выполняем в тетраде (решения должны быть, если этого требует задача)
Домашнее задание
(1)
Произвести вычисления в двоичной системе счисления. Произвести проверку с помощью полной формы записи числа.
а) 11001 + 10101
б) 101 + 1
в) 11111 + 1111
г) 111011 - 1101
д) 11011 + 1101 - 1101
е) 1000 + 1000
(2)
Произвести вычисления в позиционной системе счисления с основанием равным 8. Проверка, как в (1)
а) 15 + 17
б) 11 - 8
в) 74 + 7
г) 37 + 77
(3*)
Как определить четность числа в двоичной системе счисления. Проведите собственное исследование, пользуясь решением задания (1)
---
Домашнее задание
(1)
Переведите число 144 из десятичной в двоичную систему счисления. Произведите сложение полученного числа и числа 101, записанного в двоичной системе счисления.
(2)
Запишите полную форму записи чисел, переведите их в десятичную систему счисления:
10112
10А16
1556
98В14
100011016
